Definition Normalverteilung
Graphische Darstellung d. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion v. ZV mit Normalverteilung: Bedeutung der Parameterwerte
- Parameter µ: bestimmt, bei welchem x-Wert sich das Maximum der Dichtefunktion befindet
- Parameter σ2: legt die “Breite” der Dichtefunktion fest
Wichtige Eigenschaften der Normalverteilung
- Ihre Wahrscheinlichkeitddichtefunktion f(x) hat ihr Maximum an der Stelle x=µ.
- f(x) ist symmetrisch um µ, d.h.: f(µ+c)=f(µ-c) für alle c∈ℝ. Hieraus folgt u.a.:
- P(X ≤ µ+c)=P(X ≥ µ-c)
- P(X ≤ µ)=P(X ≥ µ)=0.5
3. f(x) hat eine Glockenform. Je weiter x von µ entfernt, desto kleiner ist die Dichte f(x).
Verteilunfsfunktion einer normalverteilten ZV
Erinnerung: Verteilungsfunktionen bei stetigen ZV X
Verteilungsfunktion einer normalverteilten ZV X somit:
Beispiele graphische Darstellung d. Dichtefunktion u. Verteilungsfunktion normalverteilter ZV X mit unterschidl. Parameterwerten
Erwartungswert einer normalverteilten ZV
Kann aus der allg. Formel für den Erwartungswert für stetige ZV berechnet werden (sehr aufwendig):
Varianz einer normalverteilten ZV
Kann aus der allgemeinen Formel für die Varianz füt stetige ZV berechnet werden (sehr aufwendig):
Standardabweichung einer normalverteilten ZV
Def. Standardnormalverteilung
Die Normalverteilung mit den Parameterwerten µ=0 und σ2=1
→ Der Erwartungswert einer standardnormalverteilten ZV X ist also E(X)=µ=0, und die Varianz Var(X)=σ2=1
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung:
z-Standardisierung von normalverteilten ZV
→dies bedeutet, dass jede normalverteilte ZV X in durch z-Standardisierung un eine standardnormalverteilte ZV Z überführt werden kann!