1
Q
Quelles doivent être les étapes d’un oral ?
A
- Période de réflexion, à voix haute (notamment lister les différentes méthodes auxquelles on pense et dire tout ce qui nous passe par la tête comme manière de résolution)
- Période d’organisation : expression claire de ce qu’on envisage de faire et pourquoi
- Période de réalisation (tout dire sur nos hypothèses etc…, le but est que l’examinateur n’ait pas de question à poser)
- Période de conclusion : vérification de la cohérence et de si les hypothèses ont toutes bien été utilisées
2
Q
Quelles sont les méthode pour montrer qu’un polynôme en divise un autre ?
A
(La troisième sert à rien, autant faire là 4e)
3
Q
Quelles sont les méthode pour montrer une propriété pour tout polynôme ?
A
4
Q
Quels sont les deux types de produits scalaires qu’on utilise dans l’espace des polynômes ?
A
5
Q
Comment construire une base orthonormale dans l’espace des polynômes ?
A
6
Q
Quelles sont les propriétés à avoir en tête lorsqu’on étudie une fonction polynomiale ?
A
- fonction de classe C∞, on peut donc utiliser tous les théorèmes de Rolle, TVI, théorème des accroissements finis etc…
- un polynôme borné sur IR est constant
- un polynôme périodique est constant (car borné)
- un polynôme P admet au plus deg(P) racines, sinon il est nul
- tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle (conséquence du TVI)
7
Q
Qu’est-ce que le théorème de Weierstrass (HP) ?
Comment l’utilise-t-on ?
A
8
Q
Comment exprimer algébriquement que a est une racine de P ?
A
9
Q
Comment exprimer analytiquement que a est une racine de P ?
A
10
Q
Que peut-on dire du nombre de racines d’un polynôme ?
A
11
Q
Comment exprimer le n-ième coefficient d’un polynôme P ?
A
12
Q
Comment montrer que deux polynômes sont égaux ?
A
- On montre que leur différence est nulle
- On montre qu’ils ont les mêmes coefficients
- On montre qu’ils ont les mêmes racines, de même multiplicité, et le même coefficient dominant
13
Q
Comment montrer qu’un polynome est nul ?
A
14
Q
Quelles formules a-t-on sur le degré d’une relation entre polynôme ?
A
Avec égalité pour le premier si les degrés sont différents ou si les coefficients dominants ne sont pas opposés
15
Q
Qu’appelle-t-on les polynômes interpolateurs de Lagrange ?
Comment montrer analytiquement leur existence et unicité ?
A
16
Q
Quelle est la décomposition en éléments simples de P’/P, si on connait les racines de P ?
A
17
Q
Quelles sont les méthode pour montrer qu’une partie est un espace vectoriel ?
A
- dire que c’est le noyau/l’image d’une application linéaire
- montrer que c’est un sev
- dire que c’est la somme d’espaces vectoriels
- dire que c’est l’intersection d’espaces vectoriels
18
Q
Quelles sont les relations utiles entre sev ?
A
19
Q
Comment montre-t-on que deux sev sont égaux ?
A
20
Q
Comment trouver la dimension d’un espace vectoriel ?
A
On peut aussi l’exprimer comme un Ker ou un Im et utiliser le théorème du rang mais c’est moins courant
21
Q
Comment montrer que plus de deux sev sont supplémentaire ?
A
On repasse par la définition
22
Q
Quelles techniques utilise-t-on souvent pour montrer la liberté d’une famille de polynômes ?
A
23
Q
Qu’utilise-t-on souvent pour montrer la liberté d’une famille de fonctions rationnelles ?
A
(Pour montrer la définition de libre)
24
Q
Quelles techniques utilise-t-on souvent pour montrer la liberté d’une famille de fonctions quelconques ?
A
(Récurrence lorsque la famille est infinie)
- dérivation (le plus fréquent)
- limites
- évaluation de la relation de définition en des points bien choisis
- unicité du DL
- régularité
25
Comment montrer qu’une famille est une base en dimension finie ?
⊕ les mêmes méthodes qu’en dimension infinie (libre + génératrice ; existence et unicité de la décomposition)
26
Comment montrer que f€L(E,F) ?
Attention, il y a deux points :
- montrer que f est à valeurs dans F
- montrer que f est linéaire
27
Quelles sont les différentes manières de définir une application linéaire ?
28
Quelles sont les différentes manières de déterminer le rang d’un endomorphisme ?
29
Que peut-on dire du rang de uov ?
Il est inférieur à min(rg(u), rg(v)) (théorème du rang)
30
Comment montrer qu’il existe une application de noyau N ou d’image I donné ?
Il suffit de prendre le projecteur :
- parrallèlement à N
- sur I
31
Comment montrer que f, linéaire, est bijective en dimension finie ?
32
Comment caractériser un projecteur ?
33
Comment caractériser une symétrie ?
34
L’ensemble des matrices inversibles est-il un espace vectoriel ?
Non, il n’y a même pas 0 dedans !
35
Quel doit être le réflexe si on cherche à montrer une propriété linéaire pour tout x€E ?
Il faut directement penser à la montrer sur une base
36
Si on ne trouve pas de moyens de démontrer une propriété d’agèbre, à quoi faut-il penser ?
Il faut avoir le réflexe de tenter des récurrences sur la dimension de l’espace
37
Que peut-on dire de Ker(fog) et Im(fog) ?
38
Que vaut le noyau de f restreinte à G ?
C’est Ker(f) n G
39
À quoi faut-il penser si on nous parle d’une forme linéaire sur l’espace des matrices ?
Elle est de la forme M → tr(A.M), on trouve les coefficients de A en appliquant aux M = E(i,j)
40
Si on a un espace stable par un endomorphisme, comment se traduit matriciellement cette propriété ?
41
Exprimer la matrice E(i,j) en fonction de Kronecker
42
Comment écrire une matrice A = (a(i,j)) en fonction des E(i,j) ?
43
Que vaut le produit de matrices élémentaires ?
44
Quel doit être le réflexe si on veut montrer une propriété « pour toute matrice M€Mn(IK), … » ?
Si la propriété est linéaire, la montrer pour les E(i,j)
(On peut aussi essayer de la montrer pour les matrices inversibles et d’utiliser la densité, ou de le montrer pour les matrices Jr)
45
Quelles sont les méthodes pour calculer les puissances d’une matrice ?
- calcul direct (petite taille et petite puissance)
- décomposer la matrice et utiliser le binôme de Newton (7)
- procéder par récurrence (cas simples) (8)
- utiliser un polynôme annulateur (9)
- raisonner en termes d’endomorphismes (10)
- diagonaliser la matrice (11)
46
Qu’est-ce que la méthode « décomposer la matrice et utiliser le binôme de Newton » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
47
Quelles sont les matrices (et leurs puissances) à connaitre ?
48
Qu’est-ce que la méthode « récurrence (cas simples) » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
49
Qu’est-ce que la méthode « utiliser un polynôme annulateur » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
50
Qu’est-ce que la méthode « passer par les endomorphismes » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
51
Qu’est-ce que la méthode « diagonaliser la matrice » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
51
Quelles sont les méthodes pour déterminer l’inverse d’une matrice ?
- effectuer un calcul par bloc
- utiliser un polynôme annulateur
- interpréter en terme d’endomorphisme
- utiliser un pivot de Gauss
52
Qu’est-ce que la méthode « effectuer un calcul par bloc » pour déterminer l’inverse d’une matrice ?
Lorsqu’on cherche à inverser une matrice par blocs, on peut essayer de trouver son inverser sous la même forme :
53
Qu’est-ce que la méthode « utiliser un polynôme annulateur » pour déterminer l’inverse d’une matrice ?
(Pour la toute fin, on a X.Q(X) annulateur de A, si Q(X) = P(X)/X, et si Q(A) ≠ 0, il existe au moins un vecteur v tel que Q(A).v ≠ 0, alors, puisque A.Q(A).v = 0, A annule un vecteur non nul : elle n’est pas injective, donc pas bijective)
54
Qu’est-ce que la méthode « interpréter en termes d’endomorphisme » pour déterminer l’inverse d’une matrice ?
55
Dans quels cas une matrice triangulaire est-elle inversible ?
Elle est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont tous non nuls
56
Quelles sont les différentes méthodes pour calculer le rang d’une matrice ?
- utiliser des opérations élémentaires et revenir à la définition
- déterminer le noyau et utiliser le théorème du rang
- étudier l’inversibilité
57
Quel est le lien entre matrices équivalentes, semblables et le rang ?
58
Qu’appelle-t-on la matrice Jr, quelle est sa propriété ?
59
En quoi les matrice Jr sont-elles utiles ?
60
Que faut-il savoir sur les matrices carrées de rang 1 ?
- Si A est une matrice carré de rang 1, elle s’ecrit X.YT
- Ses valeurs propres sont 0 (multiplicité n-1) et Tr(A) (multiplicité 1)
- Elle est donc diagonalisable ssi sa trace est non nulle
- *image*
61
À quoi faut-il penser si on cherche à montrer que, pour deux matrices A et B données, il existe P tel que B = P(A) ?
Polynômes de Lagrange + réduction
62
Quel est le lien entre polynôme annulateur d’une matrice et famille liée ?
63
Quelle est la méthode générale pour déterminer le centre d’un ensemble ?
64
Déterminer le centre de Mn
Donc M est dans le centre ssi ∀(i,j), mii = mjj et mij = 0 si i≠ j ssi M est scalaire
65
Déterminer le centre de GLn
66
Quelles sont les méthodes pour résoudre une équation matricielle ?
- repasser par les coefficients (taille 2)
- effectuer la méthode par bloc
- procéder par conditions nécessaires et éliminations
- interpréter en terme d’endomorphisme
- passer par les matrices inversibles ou Jr
- étudier les cas particuliers (scalaire, nulle, diagonale (/diagonalisable), E(i,j), triangulaire (/trigonalisable), nilpotentes, inversibles, Jr)
Penser aux formes réduites
67
Qu’est-ce que la méthode « procéder par conditions nécessaires et éliminations » pour résoudre une équation matricielle ?
68
Qu’est-ce que la méthode « interpréter en termes d’endomorphisme » pour résoudre une équation matricielle ?
69
À quoi faut-il faire attention lorsqu’on passe des endomorphisme aux matrices pour résoudre un exercice ?
- ça ne doit pas être le premier réflexe !
- souvent, tout l’enjeu est de trouver une base adaptée, qui permettra ensuite de mener des calculs plus simples
- il faut donc creuser les hypothèses et ensuite seulement passer en matrices
- une fois la matrice introduite, pour faciliter l’exercice, il faut essayer de se ramener à une forme simplifiée (utilisation des matrices Jr, E(i,j), diagonalisation, trigonalisation)
- il peut souvent être utile de le faire dans l’autre sens : passer des matrices aux endomorphismes
70
Quelle est la différence entre être diagonalisable dans IR et dans ℂ ?
- diagonalisable dans IR : diagonalisable + toutes les valeurs propres sont réelles (⇔ dz et P€GLn(IR))
- diagonalisable dans ℂ : diagonalisable (P€GLn(ℂ))
71
À quoi faut-il penser si on est dans un exercice de matrices et qu’on voit qu’on se place sur ℂ ?
Il faut surement utiliser une valeur propre (on sait qu’il en existe une sur ℂ, mais par forcément sur IR) / trigonaliser
72
Quelles sont les principales méthodes pour calculer un déterminant ?
- additionner toutes les colonnes à la première, factoriser pour avoir une colonne de 1, soustraire les lignes pour avoir beaucoup de 0, développer (lorsque les sommes des éléments des lignes/colonnes sont les mêmes, par exemple lorsqu’on a les mêmes éléments mais pas dans le même sens)
- repérer une liaison entre les colonnes (alors, le déterminant est nul)
- aboutir à une relation de récurrence (en développant par rapport à une ligne/colonne, si on ne trouve pas d’ordre 1 c’est peut-être ordre 2)
- utiliser la réduction matricielle (déterminer les valeurs propre, le déterminant est le produit)
Dans ces méthodes, on utilise quasi-toujours le développement par rapport à une ligne/colonne
73
En passant par la réduction
74
Qu’est-ce que la méthode « faire des calculs par bloc » pour résoudre une équation matricielle ?
Illustrer avec cet exemple :
75
Quelles sont les différentes méthodes pour déterminer les valeurs propres d’une matrice ?
- l’exprimer comme β.J + α.In, avec J dont on calcule facilement les valeurs propres
- utiliser la trace et le rang
- l’exprimer comme un polynôme d’une matrice simple
- déterminer un polynôme annulateur
- calculer son polynôme caractéristique
- revenir à la définition
76
Qu’est-ce que la méthode « déterminer un polynôme annulateur » pour déterminer les valeurs propres d’une matrice ?
77
Qu’est-ce que la méthode « utiliser la trace et le rang » pour déterminer les valeurs propres d’une matrice ?
- si la matrice est de rang 1 : 0 est valeur propre de dimension n-1 et tr(A) est valeur propre de dimension 1 (car la somme des valeurs propres vaut tr(A) et qu’il doit y en avoir n avec multiplicité)
- si la matrice est de rang 2 : 0 est valeur propre de dimension n-2 et il reste deux valeurs propres α et β à déterminer : tr(A) = α + β et tr(A²) = α² + β² (pour la même raison), on calcule donc A² et on résoud
78
Comment déterminer les éléments propres d’une matrice tridiagonale ?
(X est le vecteur non nul tel que A.X = λ.X)
On finit ensuite la résolution
79
À quoi peut-on penser si on voit une matrice où beaucoup de coefficients se répètent (on n’a que 2/3 valeurs au total) ?
Décomposer comme somme de matrices plus simples, surtout si toute la diagonale a la même valeur
80
Qu’est-ce que la méthode de détermination des valeurs propres/éléments propres par passage par un polynôme d’une matrice simple ?
81
Comment utiliser le théorème spectral pour déterminer un sous-espace propre ?
82
Quelles sont les méthodes pour montrer que (/dire si) une matrice est diagonalisable ?
- utiliser le théorème spectral (pour une matrice symétrique réelle…)
- calculer les éléments propres et voir si la somme des dimension des espaces propres vaut dim(E) (en taille 2 ou 3)
- regarder le rang et la trace
- exprimer comme polynôme d’une matrice diagonalisable
- déterminer un polynôme annulateur SARS
- calculer le polynôme caractéristique et regarder s’il a n racines distinctes (suffisant mais pas nécessaire)
- raisonner par conditions nécessaires
83
Qu’est-ce que la méthode « déterminer un polynôme annulateur SARS » pour montrer qu’une matrice est diagonalisable ?
84
Qu’est-ce que la méthode « raisonner par conditions nécessaires » pour montrer qu’une matrice est diagonalisable ?
85
Que peut-on dire d’une matrice réelle de taille impaire ?
Elle admet au moins une valeur propre réelle (son polynôme caractéristique est à coefficients réels et de degré impair, donc admet une racine réelle)
86
Quel est le lien entre multiplicité d’une valeur propre dans le polynôme caractéristique et la dimension du sous-espace propre associé ?
dim(Eλ) ≤ mλ, mais on n’a pas du tout forcément l’égalité !
87
Qu’est-ce que la méthode de recherche des racines rationnelles d’un polynôme ?
Avec p/q la forme irréductible
88
Quelles sont les équivalences à « λ est valeur propre de A » en dimension finie ?
89
Quelles sont les équivalences à « A diagonalisable » ?
90
Quelles sont les deux idées qu’on peut tenter si on cherche à montrer des propriétés sur les polynômes caractéristiques ?
- raisonner sur les matrices inversibles, puis par densité
- utiliser les matrices Jr et raisonner par bloc
91
À quoi faut-il penser si on fait de la réduction sur des espaces de fonctions ?
Faire le lien entre valeur propre et équation différentielle (analyse-synthèse)
92
Comment montrer que deux normes sont équivalentes sur Mn ?
Mn est un evn de dimension finie, donc toutes les normes sont équivalentes
93
Qu’est-ce que la forme réduite triangulaire de u nilpotent ?
Justif
An+1 = 0* (mais ça ne change rien, car on a quand même B nilpotente et F de dimension inférieure à n)
Même pas besoin de ça, son polynôme caractéristique est Xⁿ, scindé, donc on peut toujours trigonaliser
94
Que peut-on dire du spectre complexe d’une matrice nilpotente ?
Justif
Il vaut {0}
(On a ici montré qu’il était inclus mais il est égal d’après d’Alembert-Gauss)
95
À quoi faut-il penser si on fait des calculs avec une matrice nilpotente ?
La mettre sous sa forme réduite
96
Comment montrer qu’une forme linéaire est symétrique/anti-symétrique ?
Quelle implication directe a-t-on si elle est anti-symétrique (pas sur ses valeurs propres)
97
Comment montrer qu’un vecteur x est nul ? (dans le cadre de l’algèbre bilinéaire)
On se place dans un espace euclidien et on montre que sa norme au carré (donc ) est nulle
98
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un endomorphisme est auto-adjoint ?
- par la définition
- montrer que sa matrice, dans une base orthonormale, est symétrique
99
Rappeler l’énoncé du théorème spectral algébrique
100
Rappeler l’énoncé du théorème spectral matriciel
101
Comment accéder à des informations sur les valeurs propres d’un endomorphisme, avec des normes etc… ?
102
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un endomorphisme est une isométrie ?
Ou alors on montre que, dans une BON :
- les colonnes sont toutes de norme 1
- les colonnes sont orthogonales entre elles
103
Comment montrer qu’une application linéaire est continue d’un evn dans un autre ?
- En dimension finie, toutes les applications linéaires sont continues
104
Comment montrer qu’une application linéaire n’est pas continue d’un evn dans un autre ?
105
Factoriser a² + b²
(a + i.b)(a - i.b)
106
Quelles sont les différentes méthodes pour montrer une inégalité ?
- se ramener aux inégalités classiques
- intégrer les inégalités classiques
- faire une étude de fonction
- utiliser la convexité
- interpréter graphiquement (pour l’intuition)
- tenter de mettre les différents membres sous une forme commune
- passer par les série entière
107
Qu’est-ce que la méthode « intégrer les inégalités classiques » pour montrer une inégalité ?
(Pour voir si ça marche, on dérive notre inégalité et on regarde si on retombe sur une inégalité classique)
108
Qu’est-ce que la méthode « tenter de mettre les différents membres sous une forme commune » pour montrer une inégalité ?
109
Que peut-on dire d’une fonction continue sur un intervalle, qui ne s’annule pas ?
Elle est de signe constant
110
À quoi faut-il penser si on veut montrer par l’absurde qu’une fonction continue s’annule ?
Si elle ne s’annule pas, elle est de signe constant (sur un intervalle)
111
Quel théorème lie la régularité d’une fonction à celle de son inverse ?
Et (f-1)’ = 1/f’of-1
112
Qu’est-ce que le théorème de limite de la dérivée ?
113
Quelles sont les méthodes pour prouver la dérivabilité d’une fonction ?
- revenir à la définition
- exprimer comme une somme, composée, etc… de fonctions dérivable
- utiliser le théorème de dérivabilité de la bijection réciproque
- utiliser le théorème de la limite de la dérivée
- procéder par récurrence (pour montrer qu’une fonction est de classe C∞)
114
Qu’est-ce que la méthode « revenir à la définition » pour prouver la dérivabilité d’une fonction ?
115
Comment utiliser la dérivabilité d’une fonction ?
116
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une fonction est convexe ?
- passer par la définition
- passer par la croissance de la pente
- utiliser les dérivées de f
117
Rappeler la définition de la convexité d’une fonction
Pour tout t dans [0,1]
118
Qu’est-ce que la méthode « passer par la croissance de la pente » pour montrer qu’une fonction est convexe ?
119
Qu’est-ce que la méthode « utiliser les dérivées f » pour montrer qu’une fonction est convexe ?
120
Rappeler l’équation de la tangente à la courbe de f en a
y = f’(a).(x-a) + f(a), c’est logique : on veut que la pente soit f’(a) et qu’elle vaille f(a) en a (on intègre l’équation y’ = f’(a))
121
Quelles sont les méthodes pour montrer que la dérivée d’une fonction s’annule ?
- utiliser le théorème de Rolle
- supposer par l’absurde qu’elle ne s’annule pas, et si elle est continue, elle est de signe constant : on cherche une contradiction
122
Comment montrer qu’une fonction f, composée d’autres fonctions, est croissante ?
Plutôt que de tout dériver (ce qui est maladroit), il vaut mieux regarder si les fonctions ne sont pas elles mêmes toutes croissantes
123
Quelles sont les méthodes pour résoudre les équations fonctionnelles ?
- méthode progressive
- méthode integro-différentielle
124
Qu’est-ce que la « méthode progressive » pour résoudre des équations fonctionnelles ?
En appliquant la relation à des couples judicieux
125
Qu’est-ce que la « méthode integro-différentielle » pour résoudre des équations fonctionnelles ?
Pour l’exemple : on cherche l’ensemble des fonctions telles que f(x+y) = f(x) + f(y)
126
À quoi faut-il faire attention si on calcul le DL d’une primitive ?
On intègre tous les termes du DL de la fonction de base ET on n’oublie pas la constante !!
127
Comment faire un DL en a ≠ 0 ?
On pose x = t + a et on fait le DL de la fonction en t ainsi obtenue
128
Quels doivent être les deux réflexes lorsqu’on va calculer un DL ?
- où le fait-on ?
- la fonction est-elle paire ou impaire ?
129
Qu’est-ce que Taylor reste intégral ?
130
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une suite converge ?
- théorème de la limite monotone (ou se ramener à une suite qui le vérifie)
- encadrement
- faire un DL/équivalent
- cas particulier des suites u(n+1) = f(un)
- cas particulier des suites u(n+1) = fn(un)
- utiliser les suites adjacentes
- lien suite-série (lorsque les méthodes classiques ne marchent pas)
- comparaison série/intégrale
- utiliser des suites de matrices (si on étudie deux suites et qu’elles ne sont pas adjacentes)
- utiliser la définition
- utiliser Cesaro
131
Quelle technique peut permettre de déterminer la limite d’une suite dans le cas particulier u(n+1) = fn(un)
Déterminer les valeurs de premier terme (u0) pour lesquelles la suite reste constante (u(n+1) = un). S’il n’y en a qu’une seule, c’est surement la limite.
132
Comment faire si on nous fait étudier simultanément deux suites interdépendantes et qu’elles ne sont pas adjacentes ?
133
À quoi faut-il penser si on étudie la convergence d’une suite définie par un produit/des puissances ?
« Étudier son comportement » : règle de D’Alembert ou de Raabe-Duhamel 1 ou 2
(On peut aussi essayer de majorer ou de minorer chaque élément)
134
Pour une suite définie par récurrence, quelle est la première chose à essayer pour déterminer la valeur de sa limite ?
- faire le graphique pour conjectuer
- passer à la limite dans la relation de récurrence (cad faire f(L) = L, par unicité de la limite et continuité de f)
135
Qu’est-ce que la méthode pour déterminer la convergence/la limite dans le cas particulier u(n+1) = f(un) ?
Juste d’abord montrer que c’est bien définit : u0€I avec f(I) ⊂ I
136
Comment montrer généralement qu’une suite ne converge pas ?
137
Quel est l’ordre des chose à faire si on étudie la convergence d’une série réelle ?
- est-ce que le terme général tend vers 0 ?
- est-ce que les sommes partielles peuvent s’exprimer en tant que telles ? On revient alors au cas d’étude d’une suite simple
- voir si ACV (max 2min30 pour tout tester)
- voir si semi-CV
138
Quelles sont les méthodes pour montrer l’ACV d’une série ?
- majorer les sommes partielles
- majorer le terme général par celui d’une série de référence
- appliquer la règle du nα.un (surtout lorsqu’il y a des exp ou des ln)
- obtenir un équivalent du terme général
- utiliser le théorème des accroissements finis (si un = fn(n+1) - fn(n))
- appliquer la règle de D’Alembert (produits, quotients, factorielles, puissances) (penser à dire un > 0 à partir d’un certain rang)
- appliquer la règle de Raabe-Duhamel 1
- appliquer la règle de Raabe-Duhamel 2
- effectuer une comparaison série/intégrale
139
Pour la méthode « majorer par une série de référence » (pour montrer qu’une série est ACV), rappeler ces séries de référence.
140
Qu’est-ce que la méthode « utiliser le théorème des accroissements finis (si un = fn(n+1) - fn(n)) » pour montrer qu’une série est ACV ?
141
Qu’est-ce que la méthode « appliquer la règle de Raabe-Duhamel 1 » pour montrer qu’une série est ACV ?
Il faut regarder les |un|
142
Montrer la règle de Raabe-Duhamel 1
C’est un > 0 qu’on suppose au début, pour pouvoir conclure
143
Qu’est-ce que la méthode « appliquer la règle de Raabe-Duhamel 2 » pour montrer qu’une série est ACV ?
Attention : elle est plus précise mais il y a besoin d’avoir jusqu’au O(1/n²)
(En fait on a juste besoin de O(1/nk), avec k>1)
Dans l’hypothèse, plutôt que strictement positive, on peut prendre ne s’annulant pas et regarder |u(n+1)/un|
144
Montrer la règle de Raabe-Duhamel 2
145
Qu’est-ce que la méthode « utiliser la règle du nα.un » pour montrer qu’une série est ACV ?
146
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une série est semi-convergente ?
- utiliser le théorème des séries alternées
- utiliser le DL du terme général, jusqu’à un ordre ACV
- regrouper les termes par paquets, sans changer l’ordre
- effectuer une transformation d’Abel
147
Dans le cas de l’étude d’une série trigonométrique, à quoi faut-il penser ?
- à Abel
- au passage à l’exponentielle complexe
- aux DL
- aux formules trigonométriques
148
Quel est l’ordre des chose à faire si on étudie la convergence d’une série complexe ?
- est-ce que le terme général tend vers 0 ?
- est-ce que les sommes partielles peuvent s’exprimer en tant que telles ? On revient alors au cas d’étude d’une suite simple
- voir si ACV (max 2min30 pour tout tester)
- transformation d’Abel
149
Rappeler le théorème des séries alternées
150
Rappeler la transformation d’Abel et justifier
Si :
- αn est décroissante et tend vers 0
- Σvn est bornée (⇔ |Σvn| ≤ M)
Et après on applique la valeur absolue et ça se simplifie comme αn est décroissante
151
Quelle doit être le réflexe dès qu’on traite des séries ?
Vérifier qu’elle converge avant de l’écrire
152
Que faire si on cherche à établir des résultats sur la somme d’une série ?
Il vaut mieux repasser par les sommes partielles puis passer à la limite
153
À quoi faut-il penser si on étudie une série dont le terme général est une intégrale ?
Il faut souvent chercher un équivalent de cette intégrale
154
Quelles sont les méthodes pour calculer la somme d’une série ?
- se ramener à un télescopage (le plus souvent, notamment si le terme général : est une fraction rationnelle, fait intervenir des logarithmes, fait intervenir des racines, fait intervenir des fonctions trigonométriques)
- écrire la somme comme une série entière appliqué à un point (dans son disque de convergence !)
- utiliser les séries usuelles
- reconnaitre le cas particulier où le terme général est P(n)/n!, avec P un polynôme
- exprimer simplement les sommes partielles
- utiliser des intégrales
155
Qu’est-ce que la méthode « se ramener à un télescopage » pour calculer la somme d’une série ?
156
Comment se ramener à un télescopage, pour calculer la somme d’une série, lorsque le terme général cette série est une fraction rationnelle ?
157
Comment se ramener à un télescopage, pour calculer la somme d’une série, lorsque le terme général cette série fait intervenir un logarithme ?
158
Comment se ramener à un télescopage, pour calculer la somme d’une série, lorsque le terme général cette série fait intervenir des racines ?
159
Comment se ramener à un télescopage, pour calculer la somme d’une série, lorsque le terme général cette série fait intervenir des fonctions trigonométriques ?
160
Qu’est-ce que la méthode « reconnaitre le cas particulier où le terme général est P(n)/n!, avec P un polynôme » pour calculer la somme d’une série ?
Il fait faire attention à traiter à part les n < deg(P) premiers termes de la somme
161
Qu’est-ce que la méthode « utiliser des intégrales » pour calculer la somme d’une série ?
(L’égalité de la somme c’est une somme géométrique de raison -t)
CVU ou TITAT
162
À quelles pistes penser dans un exercice théorique sur les séries ?
+ idée 5 : utiliser la comparaison à une intégrale
Il faut penser à faire intervenir les intégrales dès que le terme général se met sous la forme f(n), avec f monotone de signe constant
163
Quelles sont les propriétés qu’on peut prouver sur la limite f d’une suite de fonctions fn s’il y a CVU ?
Rappeler les théorèmes
164
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une suite de fonction ne CVU pas ?
- calculer sup|fn-f| (f déterminée par CVS) et montrer que ça ne tend pas vers 0
- trouver une suite xn telle que |fn(xn) - f(xn)| ≥ a > 0
- raisonner pas l’absurde et alors f vérifie une certaine condition alors que non
165
Quelles sont les méthodes pour montrer la CVU d’une série de fonctions ?
- prouver la CVN
- majorer uniformément le reste par une suite tendant vers 0
- penser à utiliser pour cela la majoration du reste par le CSSA
- revenir à la définition : prendre ε>0 et montrer qu’il existe un rang à partir duquel le reste est inférieur à ε sur tout l’intervalle (notamment lorsque la justification diffère selon les parties de l’intervalle, qu’on a plusieurs segments à traiter séparément)
166
Quelles sont les propriétés qu’on peut prouver sur la limite f d’une série de fonctions fn s’il y a CVU ?
Rappeler les théorèmes
167
Comment établir la continuité et la dérivabilité de la somme d’une série de fonctions qui ne CVU pas ?
Il faut revenir à la définition
168
Comment faire si on a une intégrale impropre + une somme infinie (=intégrale impropre d’une somme de série de fonctions) ?
169
Comment faire si on a une intégrale impropre + une somme infinie (=intégrale impropre d’une somme de série de fonctions) ?
170
À quoi faut-il penser ?
On a :
- montrer l’existence d’un truc
- tel qu’on ait une inégalité entre deux trucs avec des valeurs absolues
- pour tout … (ici P)
On doit penser à l’équivalence des normes
171
Rappeler la méthode pour faire le développement asymptotique d’une suite définie par récurrence
1. Trouver un équivalent simple
2. Considérer la nouvelle suite : *suite de base* - *son équivalent*
3. Appliquer la relation de récurrence à cette nouvelle suite
4. Faire des DL ou des équivalents pour déterminer l’équivalent de cette nouvelle suite
5. On a le deuxième terme du développement asymptotique
Recommencer autant de fois qu’on veut de termes
172
Si on veut montrer une propriété sur les matrices et qu’on n’y arrive pas (si la propriété n’est pas linéaire, ou alors qu’on n’a pas réussi à la montrer pour les Eij), comment savoir si on doit plutôt passer par les matrices inversibles ou les matrices Jr ?
- si la propriété est stable par multiplication par des matrices inversibles (P…Q), passer par les matrices Jr
- si la propriété est continue (on peut passer à la limite), passer par la densité des matrices inversibles
173
Comment montrer que toute matrice de rang r>0 est équivalente à la matrice Jr associée ?
On prend une base du noyau, on la complète en base. On prend l’image de la base qui complète et on montre qu’elle est libre, donc c’est une base de l’image. On réordonne et c’est bon.
(Cf. théorème du rang généralisé)
174
À quoi faut-il penser pour chercher les racines d’un polynôme de degré supérieur à 2 ou 3 ?
Utiliser la méthode de recherche des racines rationnelles d’un polynôme
175
Si on cherche à montrer quelque chose sur une espérance, quelles doivent être les premières choses à essayer ?
Il faut utiliser les propriétés de l’espérance, qui sont puissantes, donc vérifier nos hypothèses (notamment l’indépendance etc…). La définition (formule de transfert) est la dernière chose à faire.
176
Comment trouver un équivalent d’une suite définie par récurrence ?
- soit on trouve un équivalent simple (encadrement ou truc évident, il faut savoir réfléchir à pourquoi la suite tend vers 0 ou +∞)
- Soit on utilise la technique du α : on montre qu’elle tend bien vers 0, on peu donc faire un DL au 2e ordre, on factorise par un à droite, on met tout à la puissance α, on choisit α pour avoir un o(1), on utilise Cesaro
177
Comment déterminer la convergence de la série d’une suite définie par récurrence ?
Il faut d’abord montrer que le terme général tend vers 0 (cf. méthodes pour montrer la convergence d’une suite récurrente), puis trouver un équivalent, soit simple soit par la technique du α
178
Comment montrer qu’une somme infinie f = Σfn n’est pas dérivable en a ?
Il faut repasser par les sommes partielles :
- Écrire la différence f(x) - f(a) = Σgn(x)
- Essayer de minorer les gn(x)
- Passer à la somme et diviser par x - a : il faut que la minoration soit indépendante de x et que sa somme sur n jusqu’à +∞ diverge
- Passer à la limite en n → +∞
179
Quelles sont les méthodes pour déterminer l’équivalent d’une série ou d’une intégrale ?
- série : Quand on veut trouver l’équivalent d’un truc où on peut «décorreler» le x et le n en tendant vers une limite finie : factoriser les fn par «ce à quoi équivalent les fn(x) en x → a», on peut montrer que cette nouvelle somme tends vers une limite finie λ (généralement en utilisant la CVU, double limite) et donc on a directement l’équivalent.
- intégrale : quand il y a un fort changement de comportement de l’intégrande quand on arrive vers une certaine valeur : faire un changement de variable pour « zoomer sur » (compenser) le changement de comportement (concrètement ça permet de faire sortir ce qui fait converger vers 0), montrer que la nouvelle nouvelle intégrale tend vers une valeur finie (par le théorème de la CVD continue)
- séries : méthode CSSA
- faire une comparaison série/intégrale
180
Comment déterminer un équivalent d’une somme qui respecte le CSSA pour tout x€I ?
181
Si on doit utiliser une norme sur les matrices, quelle est la meilleure à utiliser ?
Une norme subordonnée (triple), car elle est sous-multiplicative
182
Quel doit être le réflexe si on traite une matrice nilpotente ?
Utiliser sa forme réduite (directe dans ℂ par trigonalisation, et dans IR cf. la démonstration)
183
Que peut-on dire si (x,f(x)) est liée pour tout x€E ?
Justif
C’est une homothétie
184
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle
185
Comment montrer qu’une norme triple est bien définie ? Quelle information renvoie-t-elle ?
Le cercle unité est fermé (image réciproque de {1}, qui est fermé, par la norme qui est continue) et borné.
Or Φ : X → ||M.X|| est continue par continuité du produit matriciel et de la norme.
Donc, car on est en dimension finie, Φ est bornée sur le cercle unité et atteint ses bornes, donc on peut bien définir ce sup.
|||M||| contrôle l’augmentation de la norme par M
186
Montrer que les deux expressions de la norme triple sont égales
187
Comment montrer que la norme triple est sous-multiplicative ?
Soit x de norme 1 :
||MNx|| ≤ |||M|||×||Nx|| ≤ |||M|| × |||N||| × ||x||
Donc ||MNx|| ≤ |||M|||×|||N|||, car ||x|| = 1
Et donc par passage au sup, la norme triple est sous-multiplicative.
(La norme triple c’est un peu pour les produits, ce qu’est une norme pour les sommes, et la sous multiplicativité est l’analogue de l’inégalité triangulaire)
188
Quelles sont les méthodes pour calculer la valeur concrète d’une intégrale ?
- changement de variable (penser à exploiter les formules trigonométriques, notamment avec tan(t/2) mais pas que et à se ramener à la fonction Γ)
- intégration par partie
- DSE + TITAT
189
Lorsqu’on cherche une équation différentielle sur une intégrale à paramètre et que F’ ne s’exprime pas facilement, comment faire ?
On cherche généralement à faire un changement de variable pour se ramener à quelque chose de la forme de F
190
Comment trouver la valeur de l’intégrale de Dirichlet ?
-Arctan’*
On passe par sa transformée de Laplace
On admet la continuité en 0
191
Comment trouver la valeur de l’intégrale de Gauss ?
Pour se souvenir qu’on utilise cette intégrale, on se souvient qu’on doit utiliser Arctan
192
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une fonction de classe C∞ est DSE ?
Analyse :
- Méthode de l’équation différentielle
- Intégration ou dérivation d’une fonction dont le DSE est connu
- S’écrit comme un produit/somme de fonctions DSE (somme/produit de Cauchy alors)
- Utiliser Taylor-Lagrange
- Passer par une suite récurrente (pour les fonctions rationnelles)
Synthèse :
- montrer que R>0 pour ce DSE
193
Quelles sont les méthodes pour déterminer un rayon de convergence ?
1. Définition
2. Équivalents / domination
3. D’Alembert
4. Si la suite (an) est bornée, alors R ≥ 1 (cas particulier de : si (an.zⁿ) est bornée alors R ≥ |z|)
5. Si la suite (an) ne tend pas vers 0, alors R ≤ 1 (cas particulier de : si (an.zⁿ) ne tend pas vers 0 alors R ≤ |z|)
6. Trouver z tel que (an.zⁿ) soit bornée mais la série des an.zⁿ non absolument convergente, ou des trucs comme ça
194
Comment trouver le DSE d’un produit (en particulier d’un carré) ?
- méthode de l’équation différentielle
- produit de Cauchy
195
Comment déterminer l’expression de somme de séries f de an.zⁿ avec an définie par récurrence ?
Sommer la relation de récurrence de 0 à +∞ et aboutir à une expression de f, ou une équation différentielle sur f
196
Rappeler les rayons de convergence des DSE usuels, pourquoi est-ce important ?
- ceux de Taylor : R = +∞
- ceux géométriques : R = 1
- (1+x)^α : R = 1
Attention ! Lorsqu’on applique le DSE il faut toujours vérifier qu’on le fait avec |x| < R (en particulier pas |x| = R)
197
Rappeler comment on montre l’identité d’Euler
198
Comment savoir si on peut utiliser la méthode « changement de variable + CVD continu » pour trouver un équivalent d’une intégrale à paramètre ?
- Si l’intégrande change brutalement de comportement autour d’une certaine zone
- Si l’intégrande porte sur un domaine fixe mais le paramètre « contracte » ou « étale » la fonction
*Dans l’exemple, on fait u = n.x car l’intégrande il y a un changement de comportement dès que x descend autour de 1/n, donc cherche à « zoomer » ce comportement pour le ramener vers 1*
199
Qu’appelle-t-on Vect(A) ?
C’est l’ensemble des combinaisons linéaire d’éléments de A
200
Montrer que (1, 1, 0, 1) est semblable à (1, α, 0, 1)
On prend une base, on traduit ce que veut dire (1, 1, 0, 1) en endomorphisme, puis on prend α.e1 dans la base ou un truc comme ça
201
Comment aborder l’exercice dans un premier temps ?
- analyse : faire des dessins, regarder si la propriété est linéaire
- algèbre : regarder si la propriété est linéaire, essayer en petite taille et pour des types de matrices classiques (scalaire, nulle, diagonale (/diagonalisable), E(i,j), triangulaire (/trigonalisable), nilpotentes, inversibles, Jr), penser aux formes réduites
Ensuite noter les méthodes qui viennent à l’esprit pour pouvoir les utiliser pour ces cas particuliers ou pour le cas général, pour pouvoir les barrer ou en rajouter au fur et à mesure
202
Comment montrer qu’une matrice est inversible ?
- produit de matrices inversibles
- effectuer un calcul par bloc
- utiliser un polynôme annulateur
- montrer que le Ker est réduit à {0} (que 0 n’est pas valeur propre)
- interpréter en terme d’endomorphisme
- utiliser un pivot de Gauss
203
Comment faire si on a une information sur une puissance seulement d’un endomorphisme nilpotent et qu’on veut la propager aux autres ?
Cette application peut être utile
204
Montrer que deux matrices réelles semblables sur ℂ le sont aussi sur IR
205
Montrer que si P(A) est inversible, P(A)-1 est un polynôme en A
(Dimension finie car IK[A] ⊂ Mn(IK))
206
Quelle est la première chose à regarder si on veut la limite d’une intégrale généralisée ?
Avant d’utiliser un quelconque théorème, regarder si on ne va pas aboutir à une limite nulle et si on ne peut donc pas juste majorer, utiliser la croissance de l’intégrale et se retrouver avec un truc qui tend vers 0. C’est quand même plus simple.
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