Schriftliche Division

Question 1

Begrifflichkeiten der Division
Vorlesung 5 PDF S.12

Answer 1

Dividend : Divisor = Quotient
1750 : 50 = 35

Question 2

Ausgangslage/ Grundlage der Division

Answer 2

Der schriftlichen Division liegt als Grundverständnis die wiederholte Subtraktion zugrunde.

Bsp: 24 : 8 > 24 - 8 - 8 - 8, also 3

Im Gegenzug die Multiplikation:
Der schriftlichen Multiplikation liegt als Grundverständnis die wiederholte Addition zugrund.

Bsp: 3 ⋅ 8 > 8 + 8 + 8 = 24

Question 3

Grundvorstellungen der Division
- 2 Stück

Answer 3

• Aufteilen
• Verteilen

Im Gegenzug die Multiplikation
- Vervielfachen (zeitlich-sukzessiv /simultan /[kombinatorisch])

Question 4

Grundvorstellung der Division
- Aufteilen
- Vorlesung 5 PDF S.15

Answer 4

Aufteilen
- Wie oft passt die 4 in die 24
- 4 + 4 + … + 4 = 24 (Anzahl der Vieren)
- bzw.: [ ] ⋅ 4 = 24

> Gesucht ist die Anzahl der Teilmengen mit einer bestimmten Anzahl an Elementen.

Question 5

Grundvorstellung der Division
- Verteilen
- Vorlesung 5 PDF S. 15

Answer 5

Verteilen
- Welches ist der vierte Teil von 32?
- [ ] + [ ] + [ ] + [ ] = 32
- bzw. 4 ⋅ [ ] = 32

> Gesucht ist die Anzahl der Elemente in einer bekannten Anzahl von Teilmengen.

Question 6

Halbschriftliche Rechenstrategien
- 4. Stück

Answer 6

• Schrittweise
• Hilfsaufgabe
• Vereinfachen
• Umkehraufgabe

Question 7

Halbschriftliche Rechenstrategien
- Schrittweise
- Vorlesung 5 PDF S.16

Answer 7

Schrittweise
- Der Dividend oder Divisor wird in seine Stellenwerte oder passende Faktoren zerlegt. Die Zwischenergebnisse werden anschließend addiert um das Ergebnis zu erhalten.

Dividend:
482 : 2 = 241
400 : 2 = 200
80 : 2 = 40
2 : 2 = 1

Divisor

124 : 4 = 31
124 : 2 = 62
62 : 2 = 31

Question 8

Halbschriftliche Rechenstrategien
- Hilfsaufgabe
- Vorlesung 5 PDF S.16

Answer 8

Hilfsaufgabe
- Man notiert sich zunächst eine Hilfsaufgabe, die leichter zu berechnen ist als die vorgegebene Rechneung. Aus dieser Hilfsaufgabe kann das Ergebnis dann abgeleitet werden. In der Regel wird bei dieser Strategie nur der Dividend oder Divisor verändert

Dividend:
232 : 8 = 29
240 : 8 = 30
8 : 8 = 1

Question 9

Halbschriftliche Rechenstrategien
- Vereinfachen
- Vorlesung 5 PDF S.17

Answer 9

Vereinfachen
- Es werden Dividend und Divisor nach dem Gesetz der Konstanz des Quotienten gleichsinnig verändert: Der Dividend und der Divisor sind durch die gleichen Zahlen teilbar bzw. lassen sich mit der gleichen Zahl multiplizieren, ohne dass sich das Egebnis ändert.

225 : 25 = 9
450 : 50 = 9

Question 10

Halbschriftliche Rechenstrategien
- Umkehraufgabe
- Vorlesung 5 PDF S.17

Answer 10

Umkehraufgabe
- Aus der Divisionsaufgabe wird die passende Multiplikationsaufgabe gebildet.

360 : 4 = 90
90 ⋅ 4 = 360

Question 11

Welche Aufgabeneigenschaften können sich auf die Schwierigkeit auswirken?

Answer 11

792 : 3 (= 266)
- (Nicht-) Vorkommen der Zehnerzahlen

12840 : 60 (= 214)
- (Nicht-) Vorkommen der Zehnerzahlen

672 : 12 (= 56)
- Anzahl der Stellen im Divisor

7688 : 5 (= 1537 Rest 3)
- Rest

468 : 6 (= 78)
- Erste Ergebnisziffer ist eine 0, im schrifftlichen Rechenverfahren kann man nicht 4 : 6 Rechen

6150 : 3 (= 2050)
- Anzahl der Stellen im Dividenden

Question 12

Prinzip der fortschreitenden Komplizierung
- Vorlesung 5 PDF S.20

Answer 12

Prinzip der fortschreitenden Komplizierung
1. Division durch Zehnerzahlen
2. Division durch mehrstellige Divisoren / mehrstelligen Dividenden
3. Division mit Rest

> mit leichten Zahlen beginnen und dann wird es mit der Zeit komplizierter

Question 13

Prinzip der fortschreitenden Schematisierung
- 4 Phasen
- Vorlesung 5 PDF S.21f.

Answer 13

> Wie kommen die SuS von einer halbschriftlichen Rechnung/Notation zu einer schematischen Notation (mit Bezug zum schriftlichen Algorithmus)?

Phase 1: konkretes Verteilen, zunächst stückweise, dann in größeren Einheiten
Phase 2: mentales Verteilen mit schriftlicher Stütze nach dem Prinzip: “Verteile - wie viele bleiben noch übrig? - Verteile weiter - wie viele bleiben noch?”
Phasen 3 & 4: Einheiten werden größer bis hin zum jeweiligen Verteilen der maximalen Anzahl an Hunderten, Zehnern und Einers. die Notation ähnelt schon der Standartform

Question 14

Prinzip der fortschreitenden Schematisierung
- Aufabenstellung:
> Verteile 324 Murmeln gerecht auf 4 Kinder. Wie viele Murmeln bekommt jeder?
- Vorlesung 5 PDF S.21f.

Answer 14

Aufabenstellung:
> Verteile 324 Murmeln gerecht auf 4 Kinder. Wie viele Murmeln bekommt jeder?

Phase 1: konkretes Verteilen, zunächst stückweise, dann in größeren Einheiten
- Ich gebe jedem Kind immer eine Murmel, bis keine Murmel mehr übrig ist.
- Fortsetzung mit 2, 3, … Murmeln möglich

Phase 2: mentales Verteilen mit schriftlicher Stütze nach dem Prinzip: “Verteile - wie viele bleiben noch übrig? - Verteile weiter - wie viele bleiben noch?”
- Ich kann jedem Kind sofort 10 Murmeln geben 4 ⋅ 10 ist 40. Es bleiben noch 284 Murmeln übrig
- Bsp.: Schriftliche Stütze
324
- 40 (Pro Kind [4] je 10 Murmeln)
284
- 40 (Pro Kind [4] je 10 Murmeln)
…

Phasen 3 & 4: Einheiten werden größer bis hin zum jeweiligen Verteilen der maximalen Anzahl an Hunderten, Zehnern und Einern, die Notation ähnelt schon der Standartform

324
200 50 (Pro Kind [4] je 50 Murmeln)
123
120 30 (Pro Kind [4] je 30 Murmeln)
4
4 1 (Pro Kind [4] je 1 Murmeln)
0 81 (Jedes Kind erhält 81 Murmeln)

324
320 80 (Pro Kind [4] je 80 Murmeln)
4
4 1 (Pro Kind [4] je 1 Murmeln)
0 81 (Jedes Kind erhält 81 Formeln)
(siehe Vorlesungsfolien)

Question 15

Prinzip der fortschreitenden Schematisierung (Treffern, 1987)
- Vorlesung 5 PDF S.23/24

Answer 15

Ausgangspunkt:
- Anwendungsprobleme (mit großen Zahlen)
> … verleihen den Rechenverfahren Bedeutung
> … unterstützen auszuführende Rechnungen inhaltlich
> … zeigen Anwendungsrelevanz auf
(Bezug zur 1. Winterschen Grunderfahrung)

Anknüpfungspunkt:
- informelle Strategien der Kinder (u.a. halbschriftliche Rechenstrategien)

Ziel:
- fortschreitende Verkürzung und Schematisierung der Rechnungen und Notationen
(Stichwort: Algortihmisches Lernen)

// Analoge Übelegungen (des Prinzips der forschreitenden Schematisierung) zur Multiplikation möglich (PDF S.24)

Question 16

Welche Aussagen über kritische Stellen im Lernprozess sind korrekt?

Answer 16

• Kritische Stellen beziehen sich auf Probleme mit Ankerpunkte, die fundamental für das mathematische Verständnis sind.
• Fehlende elementare Kenntnisse am Ende der Grunschulzeit sind Prädikatoren für Schwierigkeiten in der Sekundarstufe I.
• Sowohl Zahlen- als auch Ziffernrechnen sin kritische Stellen im Lernprozess der Klassen 3 und 4.

Question 17

Kritische Stellen zum Zahlenrechnen und Ziffernrechnen
- Vorlesung 5 PDF S.31ff.

Answer 17

• Schwierigkeiten mit Teildividenden (Einmaleins)
• Schwierigkeiten mit der Notation
• Notationsfehler mit Nullen und Rest (Zwischennull, Endnull, Rest)
• Rechenfehler (Fehler beim Überschlagen der Quotientenziffer, Multiplikationsfehler)

Question 18

Beispiele für Fördermöglichkeiten
- Vorlesung 5 PDF S.33ff.

Answer 18

• Beispiel 1: Gemeinsamkeiten und Unterschiede beim Lösen von Divisionsaufgaben mit der halbschriftlichen Strategie Schrittweise und dem schrifflichen Rechenvverfahren entdecken und verstehen
• Beispiel 2: Geläufigkeit bei der schriflichen Division entwickeln: Sprech- und Schreibeise vertiefen
• Beispiel 3: die Bedeutung der Null bei der schriflichen Division erkennen und den sicheren Umgang damit beim Rechnen üben

Question 19

Division durch Null

Answer 19

Angenommen für a ≠ 0 gäbe es die Zahl x mit x = a : 0

Dann gilt die Umkehraufgabe x ⋅ 0 = a und es würde a = 0 folgen. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung a ≠ 0 folgen. Dementsprechend gibt es keine Lösung.

Question 20

Warum ist 0 : 0 = ∞?

Answer 20

Was ist mit dem Fall x = 0 : 0 ?

Es müsst eine Zahl mit x ⋅ 0 = 0 geben. Damit wäre jede Zahl x die Lösung dieser Gleichung. Dementsprechend ist 0 : 0 = ∞

Question 21

Ausblick: Übergang zu den Dezimalzahlen und Brüchen

Answer 21

• Division mit Rest motiviert Dezimalzahlen
• Bruchstrich als anderes Zeichen für Divisionsdoppelpunkt