Maths chap 3

Question 1

E ⊂ F
si ?

Answer 1

∀ 𝑥∈E, 𝑥∈F

Question 2

Négation de E ⊂ F

Answer 2

∃ 𝑥∈E, 𝑥∉F

Question 3

E = F
ssi ?

Answer 3

E ⊂ F et F ⊂ E
Méthode par double inclusion

Question 4

Si F ⊂ E,
F est ?

Answer 4

Sous-ensemble/ partie de E
F ∈ P(E)

Question 5

P(E)

Answer 5

Ensemble des parties de E

Question 6

2 manières d’écrire l’ensemble des N divisibles par 7

Answer 6

{ 7k | k ∈ N}
ou
{ n∈ N | ∃k∈ N, n=7k }

Question 7

Manière d’écrire ensemble des nbrs rationnels qui possèdent un antécédent par la fonction
𝑥 -> 𝑥 + 1

Answer 7

{ y ∈ Q | ∃ 𝑥 ∈ R, 𝑥+1 =y }

Question 8

Définir en quantificateurs Union de A U B
avec A,B ∈ P(E)

Answer 8

{ x ∈ E, x ∈ A ou x ∈ B }
Le “ou” n’est exclusif, les x communs à A et B sont compris

Question 9

Définir en quantificateurs
Intersection de A ∩ B
avec A,B ∈ P(E)

Answer 9

{ x ∈ E, x ∈ A et x ∈ B }

Question 10

Complémentaire de A barre de A dans E

Answer 10

A barre = { x ∈ E, x ∉ A}
ou E\A

Question 11

∀A∈ P(E), A⊂ A et A⊂∅

Answer 11

Démonstration par l’absurde
Contradiction

Question 12

∀ A,B∈ P(E) , A⊂B ⇔ B barre ⊂ A barre

Answer 12

Par double implication
et par l’absurde + contradiction dans les deux implications

Question 13

∀ A,B,C ∈ P(E) , A⊂ B et B⊂C ⇒ A⊂C

Answer 13

Suppose partie de gauche
Soit x appartient à A
x appartient à C

Question 14

∀ A,B,C ∈ P(E) , (sorte de double distributivité)
A∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
et
A U (B∩C) = (A U B) ∩ (A U C)

Answer 14

Par double inclusion
Soit x appartient à partie de gauche
Disjonction de cas
- Si x appartient à B
- Si x appartient à C
Alors, dans les 2 cas (partie de droite)

Question 15

Définition quantifiée Produit cartésien de A,B
2 ensembles différents

Answer 15

A x B = { (a,b) | a ∈ A et b ∈ B }

A sur axe abscisse
B sur axe ordonné
Sur le plan cartésien R carré

Question 16

Definition de l’application

Answer 16

Relation entre 2 ensembles pour laquelle
chaque élément de l’ensemble de départ (E)
a un unique élément dans ensemble arrivée (F)

Question 17

Def quantifiée de l’application

Answer 17

∀𝑥∈ E, ∃! y∈ F, (x,y) ∈ A

Pour tout 𝑥∈ E, on note f(𝑥) cette unique valeur de y, appelée image de 𝑥 par f. 𝑥 est un antécédent de y.

Question 18

Qu’est qu’une application mal définie ?

Answer 18

Elle associe un élément de départ à plusieurs images

Question 19

Def quantifiée de injectivité

Answer 19

∀𝑥,𝑥’∈ E, f(𝑥) = f(𝑥’) ⇒ 𝑥 = 𝑥’

Chaque image a au plus un antécédent
Il peut y avoir une image sans antécédent

Question 20

Def quantifiée de surjectivité

Answer 20

∀y∈F , ∃𝑥 ∈ E , y=f(𝑥 )

Chaque image a au moins un antécédent
Une image peut avoir plusieurs antécédent

Question 21

Ensemble image de E

Answer 21

f(E) = { y ∈ F | ∃𝑥 ∈ E, y = f(𝑥) }

ou aussi

{ f(𝑥) | 𝑥 ∈ E }

Question 22

Cardinal de E

Answer 22

Nbr d’éléments n dans E
|E| ou card(E)

Question 23

Un ensemble E est fini si ?

Answer 23

f: [| 1, n |] avec n∈ N est une application bijective

Question 24

Si A⊂ E et E est un ensemble fini, alors ?

Answer 24

|A| ⩽ |E|

Question 25

Avec f: A --> B f est injective, conséquences sur cardinaux ?

Answer 25

|A| ⩽ |B|

Question 26

Avec f: A --> B f est surjective, conséquences sur cardinaux ?

Answer 26

|A| ⩾|B|

Question 27

|A U B| = |A|+|B| - |A∩ B|

Question 28

Avec f: A --> B f est bijective, conséquences sur cardinaux ?

Answer 28

|A| = |B|

Question 29

Produit cartésien de 2 ensembles E,F finis

Answer 29

|E x F| = |E|x|F|

Question 30

Quelle est le cardinal de P(E) ? Avec E, un ensemble fini de cardinal n

Answer 30

|P(E)| =2 exposant n

Question 31

Que signifie le coefficient binomial ?

Answer 31

C'est le nombre de parties de l'ensemble E à k éléments Rappel : (n) = (quotient) n! (k) k! (n-k)!

Question 32

k∈ N peut aussi s'écrire ?

Answer 32

k ∈ [| 0, n|]

Question 33

∀ n,k ∈ N, (n+1) = (n) + (n) (k+1) (k) (k+1)

Answer 33

Démonstration par disjonction de cas La partie de gauche est le nombre de sous-ensemble de E à k+1 éléments Soit A une partie de E à k+1 éléments - Si l'élément n+1 ∈ A - Si l'élément n+1∉ A