Maths chap 4

Question 1

I est un intervalle ssi ?
(caractérisation)

Answer 1

∀(a,b) ∈ I², [a;b] ⊂ I

Question 2

Un majorant M de A une partie de R

Answer 2

∀ 𝑥∈A , 𝑥⩽ M

Ex: 12 est un majorant de [0;1]

Question 3

Un minorant m de A

Answer 3

∀ 𝑥∈A , 𝑥 ⩾m

Ex: -6 est un minorant de [0;1]

Question 4

A est majoré si ?

Answer 4

∃M∈R, ∀𝑥∈A , 𝑥⩽ M

Ex: ]-∞ ; 1] est majorée par 1, 2…

Question 5

A est minoré si ?

Answer 5

∃m∈R, ∀𝑥∈A , 𝑥⩾m

Ex: N est minorée par 0

Question 6

A est borné si ?

Answer 6

Si majorée et minorée
∃(m,M)∈R², ∀𝑥∈A , m⩽𝑥⩽M

Ex: [0;1] est borné

Question 7

Négation de A est borné

Answer 7

∀(m,M)∈R², ∃𝑥∈A, 𝑥>M ou 𝑥<m

Question 8

Le maximum M de A

Answer 8

M∈A et ∀𝑥∈A , 𝑥⩽ M

M appartient à A et est un majorant

Ex: max([0;1]) = 1

Question 9

Le minimum m de A

Answer 9

m∈A et ∀𝑥∈A , 𝑥 ⩾m

m appartient à A et est un minorant

Ex: m([0;1]) = 0

Question 10

Méthode pour démontrer l’unicité

Answer 10

Prendre deux éléments M,M’ de l’ensemble
Montrer qu’ils sont égaux

Question 11

A admet une borne supérieure si ?

Answer 11

• A est majorée
• L’ensemble des majorants admet un minimum

Ce minimum (plus petit majorant) = sup(A)

Le maximum est une borne supérieure

Question 12

A admet une borne inférieure si ?

Answer 12

• A est minorée
• L’ensemble des minorants admet un maximum

Ce maximum (plus grand des minorants) = in(A)

Le minimum est une borne inférieure

Question 13

Caractérisation de la borne supérieure

Answer 13

M = sup(A) ⇔ ∀a∈A , a⩽ M et ∀y∈M, ∃a∈A, y<a⩽ M

• M est un majorant
• Tout nombre strictement inférieur à M n’est pas un majorant

Question 14

Théorème de la borne supérieure
(propriété particulière à R)

Answer 14

Toute partie majorée et non vide de R admet une borne supérieure

Question 15

Théorème de la borne inférieure

Answer 15

Toute partie minorée et non vide de R admet une borne inférieure

Question 16

Partie entière ⌊𝑥⌋

Answer 16

L’unique entier ∈ Z tel que
⌊𝑥⌋ ⩽ 𝑥 < ⌊𝑥⌋+1

Question 17

Valeur absolue

Answer 17

|𝑥| = - 𝑥 si 𝑥⩾0
- -𝑥 si 𝑥 <0

Question 18

Disjonction de cas

Answer 18

A,B,C trois propositions logiques
(A ou B) ⇒ C ⇔ (A⇒C) et (B⇒C)

Pour montrer la propriété C, on montre la partie de droite

Question 19

Inégalité triangulaire

Answer 19

|𝑥 + y| ⩽ |𝑥|+|y|