3 - Rischio di mercato

Question 1

Cosa sono i rischi di mercato?

Answer 1

Possiamo vederli come i rischi connessi all’attività di negoziazione di valori mobiliari (trading)

Più precisamente, è il rischio di variazioni del valore di mercato di uno strumento o di un portafoglio di strumenti finanziari connesse a variazioni inattese dei fattori di mercato (prezzi azionari, tassi di interesse, tassi di cambio e volatilità di tali variabili)

Question 2

Distinzione tra portafoglio di trading (che ha il rischio di mercato) e portafoglio immobilizzato

Answer 2

La distinzione deriva dalla normativa contabile e di vigilanza. Quello di trading è detenuto al fine di ottenere un profito nel breve termine tramite la negoziazione, quindi contiene strumenti che hanno un mercato. A differenza del portafoglio immobilizzato che non è detenuto per la negoziazione

Question 3

Perché i rischi di mercato acquisiscono rilevanza crescente?

Answer 3

A seguito di:
– processo di cartolarizzazione dei rischi, che li rende liquidi grazie ai derivati
– diffusione delle prassi di “mark-to-market”, cioè la valutazione a valori di mercato
– episodi di crisi
– normativa sui requisiti patrimoniali (Basilea, a partire dal 1996)

Question 4

Come articoliamo i rischi di mercato?

Answer 4

Possiamo articolarli in:
– Rischio di interesse
– Rischio di cambio
– Rischio azionario
– Rischio merci
– Rischio volatilità

Question 5

Approcci per la misura del rischio di mercato

Answer 5

1. Approccio tradizionale: valori nominali
2. Approccio basato sul mark to market e su misure di sensibilità
3. Approcci con Risk Metrics

Question 6

Problemi dell’approccio tradizionale

Answer 6

Problemi:
1. Non considera il diverso valore di mercato delle posizioni
2. Non coglie la diversa sensibilità di posizioni differenti a variazioni dei fattori di mercato
3. Non considera le condizioni di volatilità correnti e la correlazione tra prezzi/tassi

Problemi rilevanti, ad es., per le opzioni
1. Diversa sensibilità in funzione del prezzo di esercizio

Question 7

Vantaggi e limiti dell’approccio basato su mkt to mkt e su misure di sensibilità

Answer 7

Vantaggi:
1. Considera il diverso valore di mercato delle posizioni
2. Con coglie la diversa sensibilità di posizioni differenti a variazioni dei fattori di mercato

Limiti:
1. Usa misure diverse per posizioni diverse:
– ciò ostacola la comunicazione orizzontale e verticale
– impossibile ottenere una misura di rischio complessiva
2. Non considera volatilità e correlazione dei differenti fattori di mercato (uguale all’approccio nominale)

Question 8

Caratteristiche dell’approccio Risk Metrics

Answer 8

Basati su una misura di rischio unificata che:
* Riflette il diverso valore di mercato delle posizioni
* Riflette il diverso grado di sensibilità delle posizioni alle variazioni dei fattori di mercato
* Riflette il diverso grado di volatilità dei fattori di mercato e la loro correlazione
* Consente di aggregare i rischi di posizioni diverse
* Agevola la comunicazione verticale e orizzontale

Question 9

Visione di insieme Risk Metrics

Answer 9

Question 10

Definizione dei principali fattori di rischio

Su azioni e futures, posizioni in valuta, currency swaps, swaps, materie prime, titoli a reddito fisso

Answer 10

1. Azioni e futures su azioni
   – Prezzo della singola azione, o indice di riferimento moltiplicato per il beta
2. Posizioni in valuta, currency futures e swaps
   – Cambi (prezzo della valuta estera in valuta locale)
   – Cambi forward ricavati dalla parità a termine implicita nei tassi di interesse
3. Posizioni su materie prime
   – Prezzi spot e futures delle materie prime
4. Posizioni in titoli a reddito fisso
   – Prezzi degli zero coupon bond. Utili anche per titoli con cedola, scomposti in flussi elementari
   – Tassi zero coupon: dai tassi seguono i prezzi, e viceversa

Question 11

Da cosa provengono i possibili valori futuri dei fattori di rischio? E come può essere?

Answer 11

Provengono da una certa distribuzione di probabilità.

– Si ipotizza per comodità che sia normale: è l’ipotesi di lavoro più comoda e utilizzata
– In alternativa esistono altre distribuzioni teoriche:
1. t di Student
2. Mistura di normali
– Ancora, è possibile utilizzare una distribuzione storica (empirica)

Question 12

Variazione nel discreto di un fattore di rischio P

Modello multinormale

Answer 12

Con mu e sigma da stimare

Question 13

Stima di mu

Modello multinormale

Answer 13

Su orizzonti (T-t) sufficientemente brevi, nessuna stima di mu performa in modo più affidabile rispetto al valore zero, o a un altro valore molto piccolo

Question 14

Qual è il giusto orizzone temporale T-t?

Modello multinormale

Answer 14

Dipende
– da un fattore soggettivo, cioè l’holding period dell’investitore. Per un “cassettista” deciso a tenere la posizione per un anno, ha poco senso guardare alle possibili perdite nei prossimi dieci giorni
– da un fattore oggettivo, cioè la liquidità della posizione. Se il mercato secondario è liquido e la dimensione della posizione è tale da non influenzare troppo i prezzi, è possibile guardare all’orizzonte temporale necessario per liquidare la posizione come a quell’orizzonte temporale necessario per “bloccare” le perdite, sopportando le minusvalenze da t a T e cedendo i titoli

Question 15

Stima di sigma

Modello multinormale

Answer 15

Utilizziamo una stima empirica della varianza di r basata su m+1 rendimenti passati (rt, rt-1, …, rt-m) e su una media mobile esponenziale.

Question 16

Logica di lambda (decay factor)

Answer 16

lambda (< 1) va scelto empiricamente (valori comuni sono 0,94 e 0,97) e fa tendere verso zero il peso assegnato alle osservazioni più lontane, che dunque escono “a poco a poco” dal calcolo. Maggiore è lambda, minore è il decay (rapidità con cui le osservazioni passate escono di scena). Se lambda = 1 si ha una media mobile semplice (nessun decay), quindi la varianza classica.

Question 17

Cosa succede alla stima della varianza per un numero di osservazioni m sufficientemente elevato o infinito?

Modello multinormale

Stima di sigma con EWMA

Answer 17

In pratica, la varianza viene ricalcolata ogni giorno prendendo quella del giorno prima e aggiustandola (per una piccola quota, 1-lambda) con il quadrato del rendimento appena registrato.

Question 18

Qual è il vantaggio di usare la varianza “mobile” modellata con EWMA rispetto alla varianza costante?

Modello multinormale

Answer 18

Questo approccio riesce a utilizzare la distribuzione normale e nel contempo a generare serie storiche di rendimenti che hanno testa e code più grasse della normale (leptocurtici), cioè più coerenti con quanto accade davvero sui mercati.

Question 19

Metodi alternativi per la stima della volatilità

Modello multinormale

Answer 19

• Medie mobili semplici
  – sono affette dall’effetto eco, dovuto all’uscita improvvisa dal campione di vecchi valori anomali
• Volatilità implicite
  – misure forward looking, incorporano le aspettative per il futuro, non il comportamento recente
• Modelli GARCH
  – sono una generalizzazione dell’EWMA

Question 20

Cosa è la volatilià implicita e come si ricava

Modello multinormale

Answer 20

• Si ricava dal valore di mercato delle opzioni. Se sale la volatilità sale il valore, e viceversa
• Rappresenta la volatilità “attesa” dal mercato

Tipicamente si utilizzano i prezzi delle opzioni at the money e si segue un processo iterativo
1. scelta di un modello di pricing
2. calcolo del valore teorico
3. modifica del valore della volatilità fino a quando il prezzo teorico non coincide con quello di mercato

Question 21

Pro e contro del metodo della volatilità implicita

Modello multinormale

Answer 21

Pro
* Basato su aspettative, quindi fwd looking

Contro:
* Non esistono opzioni quotate per tutti i fattori di rischio
* Anche quando esistono
– il mercato può essere poco liquido
– il prezzo può comprendere un premio per il rischio di controparte, che va eliminato
– il modello teorico di pricing usato per ricavare sigma può essere diverso da quello adottato dagli operatori

La volatilità implicita è dunque poco utilizzata nel risk management

Question 22

Descrizione modelli GARCH(p,q)

Modello multinormale

Answer 22

• Riconoscono che la varianza “varia” nel tempo e quindi modellano la volatilità in modo autoregressivo
• La varianza al tempo t è infatti stimata sulla base di 2 componenti:
  1. la varianza nei periodi t-1, …, t-q
  2. gli shock di mercato relativi ai periodi t-1, …, t-p

Question 23

Estensione del modello multinormale a più fattori

Modello multinormale

Answer 23

Il rendimento r sarà determinato anche dalla covarianza tra i fattori, quindi invece del sigma dobbiamo stimare tutta la matrice di varianza/covarianza

Question 24

Limiti dell’approccio multinormale

Modello multinormale

Answer 24

Question 25

Possibile soluzione ai limiti dell'approccio multinormale nella scelta della distribuzione dei fattori di rischio. E limiti

Answer 25

Utilizzare la t di Student. E’ una distribuzione interamente definita da media, deviazione standard e gradi di libertà (v) – Parametro (il numero di gradi di libertà) che controlla il grado di curtosi – Un minor v implica code più spesse – Quindi un maggior numero di gradi di libertà implica che la t di Student possa essere approssimata con una normale, perdendo il suo senso di essere la soluzione Problema: - Una combinazione lineare di t di Student non è una t di Student. Mentre nella Normale è così.

Question 26

Altra possibile soluzione ai limiti dell'approccio multinormale nella scelta della distribuzione dei fattori di rischio

Answer 26

**Utilizzare una mistura di normali.** I rendimenti sono estratti da due distribuzioni normali con media uguale ma diversa varianza. La prima distribuzione ha probabilità > e varianza <. La seconda il contrario. **Giustificazione empirica** – le due distribuzioni possono essere associate, rispettivamente ai giorni “tranquilli” e ai giorni “frenetici” **Limiti** – Approccio relativamente semplice in chiave univariata, più difficile da generalizzare a n fattori di rischio

Question 27

Rappresentare la distribuzione dei valori futuri del portafogli

Answer 27

Data la distribuzione dei fattori di rischio, dobbiamo rappresentarne gli effetti sul nostro portafoglio titoli. Per rappresentare i possibili valori futuri del portafoglio esistono diversi metodi: – Metodi basati su distribuzioni teoriche (di solito, la distribuzione normale multipla). Ad esempio le simulazioni Montecarlo e la stima parametrica – Metodi basati su distribuzioni empiriche, come la simulazione storica

Question 28

Formula di r in Simulazione di Montecarlo. Inoltre perché r si distribuisce come una N(0;SIGMA(T-t))?

Answer 28

r si può ricavare dalla formula di r nel multinormale a più fattori sostituendo C'C a SIGMA e tirandolo fuori

Question 29

Step per simulazione di Montecarlo

Answer 29

La nuova equazione di r implica una strategia pratica per generare scenari che rappresentano possibili variazioni future degli n fattori di rischio: 1. Estrai n valori z (z1, z2, ..., zn) da altrettante normali standard indipendenti. Siccome z nella formula di r è distribuita come una normale.

Question 30

Step Montecarlo in modo più informale

Answer 30

Infine riordino i 200 scenari dal meno al più favorevole. Mi concentrerò poi sugli eventi peggiori per avere idea dei rischi possibili.

Question 31

Come costruiamo C (matrice fattorizzata) in Montecarlo?

Answer 31

Esistono diverse tecniche per costruire C a partire da SIGMA. – Fattorizzazione di Cholesky * E’ la più usata, disponibile anche in software di base come Excel * Richiede che S sia definita positiva, cioè che tutti i fattori di rischio siano stati, nel periodo di osservazione, linearmente indipendenti. Nella realtà può non essere così, se il periodo di osservazione è breve – Altri metodi * Ad es. SVD, singular value decomposition, calcolabile anche quando S non è definita positiva

Question 32

Limiti delle simulazioni di Montecarlo

Answer 32

Comportano un ingente volume di lavoro per: – generare n fattori per N scenari – per ogni scenario, rivalutare il portafoglio della banca “come se” i fattori di rischio avessero effettivamente assunto un certo valore La scorciatoia è utilizzare i metodi parametrici, ma dobbiamo essere disposti ad accettare di perdere un po' di precisione e accettare qualche ulteriore ipotesi

Question 33

Da cosa dipende il valore del portafoglio di una banca (V)?

Answer 33

Dipende da un certo numero di fattori di rischio P. V = V(P)

Question 34

Formula approssimazione del valore V con formula di Taylor fermandosi alla derivata prima

Answer 34

Può per non essere soddisfacente per funzioni V(P) non lineari e per variazioi marcate dei fattori di rischio.

Question 35

Formula del Delta(V)

Answer 35

Question 36

Con cosa possiamo approssimare la variazione del valore del portafoglio?

Answer 36

Possiamo approssimarla con una funzione lineare dei rendimenti logaritmici dei fattori di rischio. Infatti Delta(V) può essere riscritto come un vettore di numeri detto "delta equivalents" moltiplicato per i rendimenti logaritmici dei fattori di rischio.

Question 37

Formula approssimazione lineare del Delta(V) e distribuzione dei fattori di rischio

Answer 37

Question 38

Dalla formula dell'approssimazione lineare del Delta(V) e dalla distribuzione dei fattori di rischio, cosa ricaviamo sulla distribuzione delle variazioni di valore del portafoglio

Answer 38

Se le nostre ipotesi sono corrette (i fattori di rischio sono distribuiti secondo una normale di cui l’EWMA stima correttamente i parametri, l’approssimazione lineare è soddisfacente) conosciamo l’intera distribuzione di probabilità delle possibili variazioni di valore future del portafoglio della banca

Question 39

Confronto tra approccio Montecarlo e Approccio parametrico

Answer 39

La simulazione Montecarlo è preferibile se V(P) non è lineare. Occorre però un N alto (che aumenta i tempi di calcolo) perché assuma una forma “naturale” L’approccio parametrico è rapido e preciso, se le ipotesi su cui fa perno sono corrette!

Question 40

Relazione tra approccio delta-normal e asset-normal

Answer 40

Il metodo parametrico utilizza un vettore basato sulle derivate prime (delta) rispetto ai fattori di rischio: – questi ultimi sono distribuiti normalmente. Da qui il nome di metodo “delta-normal” – possono essere prezzi, tassi, cambi, o altro ancora Se, come fattore di rischio, si utilizza il valore unitario della posizione (“asset”) (es. prezzo di una azione Banca Intesa o Fiat, oppure fattore di sconto che esprime il prezzo di uno zcb di valore 1 euro), il metodo delta normal prende il nome di **“asset normal”** Quindi asset normal è sempre delta normal, ma delta normal non è sempre asset normal, lo è solo se si utilizza il valore unitario della posizione come fattore di rischio.

Question 41

Esempio delta/asset normal con i tassi

Answer 41

Se uso i fattori di sconto (exp[tasso]) allora utilizzo un approccio asset-normal. Se utilizzo direttamente il tasso e non il fattore di sconto (quindi non utilizzo il valore dell'asset, cioè il fattore di sconto), allora ho un approccio delta-normal ma non asset-normal.

Question 42

Delta per approccio con fattori di sconti e delta per approccio direttamente con tassi

Answer 42

Con i fattori di sconto io sto utilizzando i prezzi e quindi sono lungo rispetto ai prezzi. Con direttamente i tassi ribalto la mia sprospettiva e quindi dovendo essere lungo verso i prezzi, devo diventare corto verso i tassi. Infatti per usare direttamente i tassi devo fare la derivata successiva a quella sul fattore di sconto e quindi il segno si inverte.

Question 43

In che caso e in che modo utilizziamo l'approccio delta-gamma?

Answer 43

In presenza di relazioni non lineari tra valore della posizione e fattori di rischio P(i), il metodo basato sul delta è poco accurato. Possiamo migliorare l’approssimazione includendo il secondo termine di un’espansione in serie di Taylor. Usando quindi la derivata seconda. Nella formula vediamo r * r' perché sarebbe come fare il quadato per un vettore, infatti stiamo semplicemente aggiungendo il "pezzo" della derivata seconda che va appunto elevata al quadrato.

Question 44

Formula variazione valore del portafolgio approccio d-g in caso di obbligazione long term, con YTM come fattore di rischio

Answer 44

Question 45

Formula variazione valore del portafolgio approccio d-g in caso di opzione call, con prezzo del sottostante come fattore di rischio

Answer 45

Question 46

Limiti approccio delta-gamma

Answer 46

- Si usa solo in casi specifici perché complesso - E’ comunque impreciso, infatti mancano i termini di grado superiore al secondo - Non può gestire la non-derivabilità di V rispetto a P - Quando la non linearità è importante conviene affidarsi a una simulazione Montecarlo, e ricalcolare il valore di V (“full valuation”) in funzione dei nuovi valori di P - L'approccio delta-gamma è un parametrico e quindi arriva a dire che la variazione di V sia distribuita normalmente, ma è irrealistico pensare che DeltaV possa essere distribuito normalmente visto che è una combinazione di: r distribuito secondo una normale e r2 distribuito secondo una chi-quadrato

Question 47

In cosa consiste utilizzare l'approccio empirico per trovare la distribuzione dei fattori di rischio? E cosa suppone? ## Footnote Approccio empirico per distribuzione fattori di rischio

Answer 47

Posso supporre che la distribuzione empirica delle variazioni passate dei fattori di rischio sia rappresentativa della distribuzione teorica delle possibili variazioni future. In pratica, suppongo che le variazioni provengano da una distribuzione stabile, e siano tutte indipendenti e identicamente distribuite (iid)

Question 48

Quante osservazioni passate devo usare? ## Footnote Approccio empirico per distribuzione fattori di rischio

Answer 48

– Se sono tante, l’ipotesi che la distribuzione sia rimasta sempre stabile (variazioni iid) è irrealistica – Se sono poche, la distribuzione si fa imprecisa Le autorità richiedono talvolta almeno un anno Esistono metodi c.d. ibridi per usare campioni ampi consentendo alla volatilità di variare da un periodo all’altro

Question 49

Metodi ibridi per l'approccio empirico per distribuzione fattori di rischio

Answer 49

* Boudoukh, Richardson e Whitelaw: anziché assegnare a tutti gli eventi passati probabilità pari a 1/N, si assegnano probabilità maggiori agli eventi più recenti * Hull e White («volatility weighted»): in presenza di un incremento (decremento) della volatilità, i rendimenti storici vengono corretti al rialzo (ribasso) in modo che abbiano una volatilità identica a quella del periodo più recente

Question 50

Strategia pratica per valorizzare il portafoglio partendo dalla distribuzione empirica/simulazione storica

Answer 50

* La strategia pratica per rappresentare le possibili variazioni future del portafoglio è la seguente: 1. Per ogni sottoperiodo passato (es. settimana) calcola la variazione avvenuta nei fattori di rischio r (r1, r2, ..., rn) 2. Applica questa variazione ai valori correnti dei fattori di rischio, ottenendo un set di possibili valori futuri (es. tra una settimana): vedi foto 3. Dato questo set di valori, rivaluta il portafoglio V(P). * La procedura 1-3 viene ripetuta per un numero di volte pari a quello dei sottoperiodi osservati in passato, registrando gli effetti dei fattori di rischio sul valore del portafoglio della banca. Sarà poi possibile isolare gli scenari peggiori per quantificare le possibili perdite estreme

Question 51

Confronto tra metodo parametrico e simulazione storica per la valutazione di un portafoglio

Answer 51

La simulazione storica segnala che variazioni estreme (e in particolare, crolli) di valore sono molto più probabili di quanto suggerisca il metodo parametrico (il campione contiene settimane di alta volatilità – che la EWMA pesava poco - e di borsa depressa - che erano neutralizzate dall’ipotesi di r medi pari a zero).

Question 52

Che approcci possiamo utilizzare nell'approccio storico per scelgliere quali variazioni storiche utilizzare?

Answer 52

* Spesso, nella pratica, si usano variazioni storiche giornaliere (più numerose) per poi moltiplicarle per la radice di T (lunghezza del sottoperiodo, es. 5 per una settimana lavorativa) – Approccio impreciso, ma accettabile * In alternativa, si calcolano variazioni a T giorni su finestre mobili (es. 26 marzo-2 aprile, 27 marzo-3 aprile, ecc.) – Questo metodo non aggiunge informazione, e la sovrapposizione tra finestre introduce una distorsione. Infatti, una variazione ampia “resta” nel campione per T giorni, ma anche il numero di osservazioni nel campione è di T volte più grande. Inoltre, i rendimenti settimanali risultano autocorrelati anche se non lo sono

Question 53

In che caso è utile utilizzare gli scenari di stress per trovare la distribuzione dei fattori di rischio?

Answer 53

* I mercati finanziari sono soggetti a eventi estremi e rari (crisi sovietica del 1998, crisi asiatica del 1997, crollo in borsa del 1987, crisi del real brasiliano del 1998) – le distribuzioni empiriche ricavate dai dati passati non sono sufficienti a darne conto * E’ dunque necessario selezionare, o creare a tavolino, scenari estremamente sfavorevoli (scenari di stress) e calcolare la variazione di valore del portafoglio ad essi associata: – dapprima si selezionano (costruiscono) gli scenari – quindi si calcola la variazione di valore del portafoglio * Questo processo è noto come “stress test” * Inoltre, non si considera tutta la distribuzione ma si fa sola sulla coda estrema di sinistra

Question 54

Metodologie per creare gli scenari

Answer 54

1. Scenari storici – Si estraggono dai database sui rendimenti passati i dati relativi a periodi eccezionalmente sfavorevoli (es. crisi russa del 1998) 2. Scenari semplici – Si fanno ipotesi a tavolino su uno o più fattori di rischio (r2) (es. tutte le valute dei PVS si svalutano del 10%) – E si lasciano (irrealisticamente) invariati tutti i fattori di rischio (r1) non compresi nell’esercizio 3. Scenari predittivi – Si fanno ipotesi a tavolino su uno o più fattori di rischio (r2) – E si correggono anche i restanti fattori di rischio (r1) sulla base della loro correlazione con i precedenti fattori

Question 55

Esempio scenari storici

Answer 55

Question 56

Esempio scenari semplici

Question 57

Processo per scenari predittivi

Answer 57

Consideriamo i nostri fattori di rischio r e dividiamoli in due gruppi: - r2 cioè i fattori core - r1 cioè i fattori periferici Poi calcoliamo i valori dei fattori periferici r1.

Question 58

Esempio scenari predittivi

Answer 58

Question 59

In che caso serve il mapping per misurare il valore di un portafoglio?

Answer 59

* Se mi interessa un singolo strumento finanziario, la migliore tecnica di pricing è la più accurata * Se mi interessa il valore di centinaia di strumenti (il portafoglio della banca) per centinaia di possibili scenari, la migliore tecnica di mapping è: – ragionevolmente accurata – sufficientemente rapida

Question 60

Tecniche di mapping: obbligazioni con flussi irregolari

Answer 60

* I fattori di rischio relativi alle obbligazioni (fattori di sconto) coprono un numero finito di “nodi” o “vertici” della term structure (es. 0,5, 1 e 2 anni). * Le obbligazioni in portafoglio però prevedono flussi anche su scadenze diverse – Es. titolo a due anni con cedola del 2,5% semestrale * Dobbiamo operare un clumping dei flussi su un titolo identico a quello reale per segno, valore attuale e rischiosità

Question 61

Tecniche di mapping: portafogli azionari diversificati

Answer 61

* Abbiamo visto un portafoglio con due titoli azionari – Il prezzo di ogni azione veniva modellato come un singolo fattore di rischio * Per portafogli più complessi e diversificati conviene cambiare tattica : – I fattori di rischio da stimare sarebbero troppi – Inoltre, il rischio specifico può essere ragionevolmente ignorato * Si adotta allora una tecnica di mapping all’indice di mercato, basata sul beta

Question 62

Applicazione della tecnica di mapping al solito portafoglio azionario

Answer 62

Come r nella formula della variazione del portafoglio V, tramite metodo di approssimazione lineare, utilizzo Beta * r

Question 63

Cosa succede alla qualità del mapping quando passo da portafogli semplici a quelli più complessi?

Answer 63

Aumenta perché i portafogli diventano più diversfificati e quindi si avvicinano di più al portafoglio di mercato utilizzato dal mapping

Question 64

Mapping di azioni e obbligazioni in valuta

Answer 64

Corrisponde all'approccio delta-normal perché in questo caso esso sottintende un mapping. Quindi in caso di: - azioni in valuta: mapping corrisponde a investimento di importo V in un'azione senza rischio di cambio + investimetno di un importo V in un deposito a vista in valuta - obbligazioni in valuta: mapping è a un obbligazione senza rischio di cambio + un deposito a vista in sterline

Question 65

Tecniche di mapping: futures su cambi a termine

Answer 65

* Una posizione lunga in valuta (es. USD) a termine dà diritto a comprare dollari in futuro (es., tra D = 6 mesi) a un prezzo F prefissato * E’ equiparabile a un portafoglio equivalente (operazione di cash and carry) composto da: – un debito a sei mesi in EUR al tasso rd, con cui fare – un acquisto a pronti di USD al cambio S, con cui fare – un deposito a sei mesi in USD al tasso rf * Per ragioni di non arbitraggio, il cambio a termine F coincide con il costo di questa operazione di cash and carry

Question 66

Confronto tra cambio a termine e operazione di cash and carry

Answer 66

Mi indebito in EUR a 6 mesi -> con questi soldi compro USD a pronti (cambio di ora) -> investo i dollari appena cambiati a 6 mesi -> tra 6 mesi avrò tanti USD investi quanti sarebbero stati se li avessi cambiati direttamente dopo 6 mesi.

Question 67

Cosa è il mapping praticamente?

Answer 67

Serve a mappare il nostro portafoglio fatto da prodotti complessi (forwards, opzioni, indici, cose in valuta) tramite portafogli equivalenti più semplici.

Question 68

Tecniche di mapping: opzioni europee

Answer 68

Il valore di una opzione può essere mappato tramite la consueta formula di Black e Scholes

Question 69

Tecniche di mapping: Forward Rate Agreement

Answer 69

Contratto che obbliga a un investimento a tasso predeterminato a decorrere da una certa data futura. Lo mappiamo con un portafoglio equivalente che consiste nel prendere a prestito oggi per (ad esempio) tre mesi il valore attuale del capitale (ad esempio 1 milione) (quindi non 1 milione ma di meno, perché attualizzato) e investissimo il ricavato per 6 mesi, in cambio di un montante finale di un milione capitalizzato per 6 mesi al tasso del FRA. In questo modo da subito abbiamo 1 milione attualizzato (quindi un po' meno), dopo 3 mesi abbiamo 1 milione e dope 6 mesi il milione capitalizzato che corrisponde all'importo che avremmo ricevuto tramite il FRA.

Question 70

Cosa è il VaR?

Answer 70

Data la distribuzione delle variazioni future di valore del portafoglio (DeltaV) associate ad un dato orizzonte temporale, il VaR risponde alla domanda: qual è la perdita minima che posso attendermi, con una probabilità p? O la massima con probabilità 1-p.

Question 71

Com'è definito il VaR?

Answer 71

Il VaR è di solito definito “al livello di confidenza 1-p%”, per sottolineare che “copre” il 1-p% dei casi.

Question 72

In termini matematici come definiamo il VaR?

Answer 72

In termini matematici il VaR dipende dal p-esimo percentile (DeltaVp) della distribuzione delle DeltaV. – J.P. Morgan lo definisce semplicemente come tale percentile – Più spesso, si definisce VaR la distanza tra tale percentile e la media della distribuzione – Nel metodo parametrico, DeltaVp poiché le variazioni dei fattori di rischio hanno media nulla e DeltaV è una loro combinazione lineare, mu di DeltaV è per definizione 0, e le due definizioni coincidono

Question 73

Qual è il valore giusto di p nel VaR? E conseguentemente qual è il valore giusto per l'intervallo di confidenza?

Answer 73

Possiamo pensare al VaR come alla quantità di capitale che la banca deve detenere per “resistere” al 1-p% delle possibili perdite senza fallire – VaR come “economic capital” Banche più avverse al rischio, o desiderose di avere un migliore rating, vogliono detenere più capitale – scelgono livelli di confidenza maggiori Se voglio un rating “R”, p dovrebbe essere in linea con la frequenza di default registrata su società con rating “R” – Es. la frequenza di default per le società “BAA3” è storicamente circa lo 0,70% – La banca che vuole rating “BAA3” adotterà un livello confidenza circa del 99,3%

Question 74

Relazione tra VaR e orizzonte temporale?

Answer 74

Il VaR è direttamente proporzionale all'orizzonte temporale scelto perché all'aumentare di t aumenta la volatilità e quindi anche il VaR

Question 75

Il metodo scelto per stimare la distribuzione di DeltaV impatta sul concetto di VaR?

Answer 75

No, ma ovviamente il valore del VaR sarà diverso perché le stime di DeltaVp e di mu saranno diverse

Question 76

Calcolo del VaR con metodo parametrico e vantaggi

Answer 76

Il percentile xp di qualunque distribuzione normale a media nulla si ottiene moltiplicando la sua deviazione standard sigmax per il corrispondente percentile zp della distribuzione normale standard. Se adottiamo l’approccio parametrico, dunque: – il VaR può essere calcolato rapidamente, nota la deviazione standard delle variazioni di valore. Infatti i valori di zp si trovano sui libri di statistica e sono calcolabili con moltissimi software – il VaR può essere scomposto facilmente, perché tutte le scomposizioni della deviazione standard si applicano al VaR, a meno di una costante zp

Question 77

Scomposizione del VaR: razionale e tipi di scomposizione

Answer 77

Il VaR dell’intera banca, o di un intero grande portafoglio, è un numero sintetico, ma opaco. Nasce l’esigenza di capire il contributo di singoli titoli o sottoportafogli al VaR totale. A tal fine, si introducono le misure di – VaR marginale della posizione i: incremento che il VaR conosce quando la posizione i viene aggiunta al resto del portafoglio della banca – VaR incrementale della posizione i: incremento che il VaR conosce quando una quantità infinitesima della posizione i (un cent) viene aggiunta al portafoglio della banca. Il calcolo di VaR marginale e incrementale è sensibilmente più rapido se si adotta l’approccio parametrico.

Question 78

Cosa è l'Expected Shortfall?

Answer 78

E’ definito come la media delle perdite inattese (cioè in più oltre il valore atteso mu) superiori al VaR. Dal punto di vista economico, posso vederlo come: – Il VaR, più il costo che le autorità di vigilanza dovrebbero sostenere per salvare la banca (ripianando le sue perdite) se il suo capitale (fissato pari al VaR) non fosse sufficiente – Il VaR, più il costo (risk neutral) che la banca dovrebbe sostenere se volesse assicurarsi contro perdite superiori al VaR

Question 79

A cosa serve l'expected shortfall?

Answer 79

1. E’ una misura di rischio alternativa al VaR – Il comitato di Basilea ha annunciato che sostituirà il VaR a fini regolamentari per i rischi di mercato 2. Risponde ad alcuni limiti del VaR – Il VaR trascura la dimensione delle perdite oltre il livello di confidenza fissato. Ad esempio mi dice che solo nel 1% di casi rischio di perdere più di 446 euro, ma quanto devo aspettarmi di perdere in questo 1% di casi? 3. Il VaR è una misura di rischio non coerente. In particolare, non rispetta il principio di subadditività (quindi non coglie il beneficio da diversificazione) – “Il rischio di una somma di più sottoportafogli è minore o uguale della somma dei rischi dei singoli sottoportafogli”

Question 80

Coerenza delle misure di rischio

Answer 80

1. Invarianza alle traslazioni – l’aggiunta al portafoglio di una quantità di risk free riduce il rischio del medesimo ammontare 2. Omogeneità positiva di grado uno – Se raddoppiamo la dimensione di ogni posizione, raddoppia anche il rischio del portafoglio. 3. Monotonicità – Se le perdite sul portafoglio A sono maggiori di quelle sul portafoglio B in ogni possibile scenario futuro, allora il rischio del portafoglio A deve essere maggiore di quello del portafoglio B 4. Subadditività – Il rischio di una somma di più sottoportafogli è minore o uguale della somma dei rischi dei singoli sottoportafogli

Question 81

Quando succede che in pratica però il VaR sia subadditivo?

Answer 81

Nella pratica, le situazioni in cui il VaR non è subadditivo si verificano abbastanza raramente. In particolare, ogni volta che ha senso utilizzare l’approccio parametrico, e cioè data la: – normalità dei fattori di rischio – linearità del legame tra fattori e valore del portafoglio ... allora il VaR è semplicemente un multiplo della deviazione standard, e poiché quest’ultima è subadditiva, anche il VaR è sempre subadditivo.

Question 82

Vantaggi del VaR

Answer 82

* Introduzione di un linguaggio comune tra i diversi “desk” (portafogli) che seguono mercati diversi * Introduzione di un sistema di limiti di rischio omogeneo e sensibile alle condizioni di mercato * Possiamo usarlo per ottenere misure di redditività del capitale investito, ovvero corretta per il rischio, siccome il VaR rappresenta il rischio che vogliamo/dobbiamo coprire con il capitale, siccome il VaR è anche detto CaR (Capitale a rischio)

Question 83

Vantaggio 2 del VaR (limiti di rischio sensibili al mercato e omogenei)

Answer 83

Ci permette di calcolare un limite di esposizione dato un limite di VaR, sensibile alla volatilità di mercato o alla duration o ad altri fattori

Question 84

VaR come misura delle risk-adjusted performance

Answer 84

Può trattarsi di: – previsioni, cioè utili attesi, CaR (VaR) stimato in base alla composizione di portafoglio iniziale – rendicontazioni, cioè utili effettivi, CaR (VaR) calcolato in base alla composizione di portafoglio tenuta nel corso dell’esercizio passato